Dalla prefazione dell'Autore.
In meccanica classica si utilizzano metodi e concetti matematici molto diversi: equazioni differenziali e flussi di fase, applicazioni regolari e varietà, gruppi e algebre di Lie, geometria simplettica e teoria ergodica. Molte delle moderne teorie matematiche hanno avuto la loro origine in problemi di meccanica e solo in seguito hanno assunto quella forma astratta e assiomatica che ne rende così difficile lo studio.
In questo libro l’apparato matematico della meccanica classica viene costruito sin dall’inizio, in modo tale che non si richiedono al lettore conoscenze preliminari, diverse da quelle che si ottengono nei corsi normali di analisi (derivata, integrale, equazioni differenziali), di geometria (spazio lineare, vettori) e di algebra lineare (operatori lineari, forme quadratiche).
Per mezzo di tale apparato matematico vengono esaminate tutte le questioni fondamentali relative ai sistemi dinamici, compresa la teoria delle oscillazioni, la teoria del moto del corpo rigido e il formalismo hamiltoniano. L’autore ha cercato ovunque di mostrare l’aspetto geometrico e qualitativo dei fenomeni. In questo senso il libro è più vicino al corso di meccanica teorica per fisici teorici che ai corsi tradizionali di meccanica teorica usati dai matematici.
Una parte significativa del libro è dedicata ai principi variazionali e alla dinamica analitica. F. Klein caratterizzò la dinamica analitica, nelle sue Lezioni sullo sviluppo della matematica nel diciannovesimo secolo, nel modo seguente: «I fisici possono ricavare da questa teoria solo una piccola parte di informazioni per i loro problemi, e gli ingegneri nessuna». Lo sviluppo della scienza negli ultimi anni ha decisamente confutato questa osservazione. Il formalismo hamiltoniano è alla base della meccanica quantistica e rappresenta attualmente uno degli strumenti più frequentemente usati fra i metodi matematici della fisica. Dopo che fu riconosciuto il valore della struttura simplettica e del principio di Huygens per tutti i possibili problemi di ottimizzazione, le equazioni di Hamilton sono state costantemente usate nei calcoli ingegneristici in questo campo. D’altra parte, lo sviluppo moderno della meccanica celeste, derivante dalla richiesta di studi cosmici, ha fatto rinascere l’interesse per i metodi e i problemi della dinamica analitica.
Ci sono molti e diversi legami fra la meccanica classica e altri rami della matematica e della fisica. Le Appendici alla fine del libro mostrano alcuni di questi legami. Le applicazioni dell’apparato della meccanica classica, che si considerano qui, sono i fondamenti della geometria riemanniana, la dinamica del fluido perfetto, la teoria di Kolmogorov sulle perturbazioni dei moti quasi periodici, l’asintotica a onde corte per le equazioni della fisica matematica e la classificazione delle caustiche in ottica geometrica.
Queste appendici sono dedicate al lettore interessato e non entrano nella parte obbligatoria del corso. Alcune di queste appendici possono fornire la base per dei corsi speciali (ad esempio, per un corso sui metodi asintotici della teoria delle oscillazioni non lineari o per le asintotiche quasi classiche). Nelle appendici sono anche riportate delle informazioni a carattere di manuale (per esempio, l’elenco delle forme normali delle hamiltoniane quadratiche). L’autore ha cercato, nei capitoli fondamentali del libro, di riportare tutte le dimostrazioni nel modo più accurato possibile, evitando di rimandare alla lettura di altri articoli: nelle appendici invece sono per lo più elencati i risultati, per la cui dimostrazione si rimanda alla letteratura relativa.
La parte fondamentale del libro è costituita da un corso obbligatorio di meccanica classica, della durata di tre semestri, tenuto dall’autore negli anni ’66-’68 agli studenti del terzo e del quarto anno di matematica, che frequentavano la facoltà di Meccanica-Matematica dell’Università Statale di Mosca (MGU).
V. Arnold
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